Ajustamento de Observações I - Prof. Ivandro Klein

Primeiro faremos o cálculo das coordenadas dos pontos da poligonal

1. Calcular azimute e comprimento do alinhamento inicial S001-S002:

2. Calcular o ângulo horizontal externo S002-S001-A. Segundo os dados da caderneta de campo, tem-se 8 visadas, 4 diretas e 4 inversas. Calcular o angulo horizontal consiste em tirar a média de tudo dentro do retângulo azul, desde que, claro, sejam feitas as devidas transformações da luneta para a posição direta. O mesmo vale para o ângulo zenital/vertical, no retângulo vermelho.





3. Fazer o mesmo para o ângulo zenital:




4. Calcular distância e azimute de S001 para A. Depois utiliza-los para calcular as coordenadas do ponto A:






MUDANÇA DE ESTAÇÃO: S001 -> A

5. Calcular angulos das irradiações e distâncias. Calcular azimutes e utiliza-los para calcular as coordenadas dos pontos 25, 26, 27 e 31. Ou seja, fazer tudo de novo com a nova ré :(

ERROS

Mesmo automatizando tudo com o uso de funções no python, doze, dos 16 parâmetros anteriores, mudarão com a mudança da estação de S001 para A. Considerando as dist. inclinadas, horizontais e as coordenadas dos pontos, o total de parâmetros necessários para calcular a pricisão dos pontos sobe para 19. Uma única função foi escrita para receber estes 19 parâmetros e calcular as precisões dos pontos seguintes (irradiações), ela se encontra neste scrip salvo no Google Colab. O scritp está dividido em 3 células de um Jupyter notebook, prontas para serem executadas e reproduzir todos os resultados deste trabalho. Mais detalhes no código.

Parâmetros redefinidos e recalculados com estação em A:

De acordo com a precisão planimétrica exigida, apenas o vértice 32, determinado por intersecção de alinhamentos, excedeu o limite de 8 cm. Os vértices 25, 26, 27 e 31 atendem à precisão planimétrica exigida. A precisão planimética dos vértices que atendem ao exigido é 5 vezes menor 8 cm, o que é um bom sinal, pois dá uma margem grande para equipamentos topográficos menos precisos. Nem sempre estarão disponíveis estações totais de alta precisão, como a Ruide-RTS-822R3, que segundo a NBR 13133, é um equipamento de alta precisão.

Cálculo da área do imóvel e sua precisão

A razão precisão/área nos mostra que o erro é inferior a 5 % do valor de área, como exigido no início do trabalho. No caso, o valor de 0,2 %, é 25 vezes menor que o limiar establecido. Quetiona-se se este valor é adequado, pois embora o erro na área realmente cresça com a área do imóvel, acredita-se que uma medida que variasse em função da área e da quantidade de pontos seria mais adequada. Justifica-se esse argumento com o seguinte exemplo: podem haver imóveis com área grande, mas de geometria simples, sem ultrapassar uma dezena de vértices. Por outro lado, podem existir imóveis complexos, com dezenas de vértices, mas com pouca área. No primeiro caso, o imóvel grande pode passar no teste com facilidade, mas o imóvel pequeno teria dificuldades em razão da quantidade de pontos. Há evidências de que isto é verdade pois, nesta aula, é explicado que quanto mais vértices em uma poligonal, pior a qualidade dos vértices se torna. Portanto, sugere-se uma fórmula que tenha tolerância propocional não somente à área do imóvel, mas que também considere o nº de vértices do levantamento, algo como: raiz(nº_de_vértices)*(sigma_A/A).

Por fim, calculamos o perímetro do imóvel e sua precisão

PS: todos os calculos foram feitos com precisao de float 64 bits (15 casas decimais), mas foram arredondados para o milímetro nas fórmulas para não poluir o site visualmente. Valores com mais casas decimais podem ser obtidos no script citado

Trabalho 2 - Ajustamento das observações de uma poligonal enquadrada

Objetivo

1. Obter as coordenadas ajustadas e as respectivas precisões dos vértices A001 e A002 da poligonal com os dados fornecidos. O ajustamento deve ser realizado por meio de um dos modelos vistos: paramétrico com injunção absoluta, paramétrico com solução alternativa por meio de interpretação geométrica, correlatos ou combinado. Comparar os resultados com os resultados obtidos pelo modelo paramétrico com injunção relativa.

• DH 1, DH 2 e DH 3 são as médias de ida e volta.
• Escolhi o modelo de ajustamento por equações de condição (constraint equations), ou modelo dos correlatos. Uma explicação deste modelo, específica para este problema, pode ser consultada neste artigo.

Solução

1. Definir equações de condição das observações:

2. Calcular azimutes e projeções em XY:

3. Verificar o erro de fechamento angular:

4. Verificar o erro das projeções em X e Y:

5. Vetor das observações inicias (y):

6. Equações de condição e matriz de derivadas parciais (Jacobiana B):

7. Vetor erro de fechamento w:

8. Matriz dos pesos W:

9. Solucao (iterativa) para obter observações ajustadas:

10. Resultado das iteraçôes:

11. Precisoes das observações (angulos + distâncias horizontais):

12. Resíduos após ajustamento:

13. O calculo das coordenadas de A001 e A002 e precisões:
Utilizamos as funções anteriores de propagação de erros nesta etapa. Especificamente: calculamos a precisão do azimute da ré S002->S003, que é função apenas das coordenadas fixas, depois calculamos a precisão do azimute da vante S003->A001, onde entra o sigma de I_1 e de DH_1 obtidos na MVC, e então calculamos a precisão de A001 em x e y. O mesmo é feito com A002, mas partindo de A003 para A002, ou seja, o azimute da ré é de S005->A003, e o azimute da vante é de A003->A002. Neste último entra o sigma de I_4 e de DH_3, obtidos na MVC. Portanto, embora os pontos fixos da poligonal não entrem no ajustamento, a propagação de erros foi feita considerando as suas precisões, como no modelo de ajustamento com injuções relativas. Isto reflete uma situação mais próxima da realidade, posto que todas as observações e parâmetros devem conter erros.

• O scrip para reproduzir estes resultados está neste link que é o mesmo do trabalho anterior, mas agora expandido para conter o Trabalho 2.
14. Comparação dos resíduos:

15. Comparação das observações ajustadas:

16. Comparação das coordenadas:

17. Análise dos resultados:

    O modelo de equações de condição, ou correlatos, deveria ter retornado as mesmas coordenadas ajustadas que o resultado apresentado na definição do trabalho (modelo paramétrico com injuções relativas). Não sabemos o porquê das diferenças apresentadas, que foi de até 12 mm na coordenada Y do ponto A002. Muitos parâmetros são definidos e muitos cálculos são feitos na implementação, todos foram checados mais de uma vez, mesmo assim as diferenças permaneceram. Em nosso modelo, em vez de definir 6 equações para as distâncias horizontais, optamos por apenas 3, que utiliza as médias das duas DH do mesmo alinhamento. A princípio, pensamos que isso seria a causa da divergência, mas mesmo propagando os erros para as médias, que muda de 0.002 mm para este valor vezes a raiz de 2, os resultados permaneceram inalterados. Uma consequência desta escolha de equações é que não conseguimos comparar os resíduos das distâncias horizontais, mas ainda foi possível comparar os resíduos dos ângulos I. Neste ponto, a soma dos quadrados dos resíduos dos ângulos está menor que a soma dos resíduos fornecidos pelo modelo paramétrico com injuções relativas. Isto é estranho, pois no modelo dos correlatos, que aplicamos, não consideramos injunções relativas. As precisões também estão um pouco maiores que o esperado, elas não deveriam ser maiores do que as calculadas com injunções relativas. Em nossa propagação das variâncias para as coordenadas de A001 e A002, consideramos as incertezas dos pontos fixos, de forma a obter um resultado parecido com o disponibilizado. Na propagação das incertezas, o sigma das observações DH_2 (A001_A002), I_2 (S003_A001_A002) e I_3 (A001_A002_A003), não foram necessários para descobrir a variância dos pontos. Efetivamente, apenas as variâncias de I_1, I_4, DH_1 e DH_3 foram utilizadas. Abaixo estão os valores intermediários utilizados no cálculo das precisões dos pontos, segundo as fórmulas do trabalho 1. Verificou-se que apenas duas iterações foram necessárias para zerar as correções. Por fim, fez-se um teste global com os resíduos, que se mostraram superiores ao esperado. Consideramos a distribuição qui-quadrado unicaldal com um nível de significância de 1 %.


18. Teste qui-quadrado:


• Ps: conforme pode ser vito na tabela, os resíduos também passam no teste com níveis de significância maiores.